应力张量为什么是对称的? 为什么是不对称的?(其一)

  学过连续体力学(包括固体力学,流体力学等)都知道应力张量是对称的(下面将说明它是有条件的)。 对于初学者, 这似乎有些难于理解, 如
http://forum.simwe.com/forum.php?mod=viewthread&tid=503234&highlight=%E5%89%AA%E5%BA%94%E5%8A%9B%E4%BA%92%E7%AD%89


  奇妙的是, 有些专家也对此持疑。 如下图的例子([1] p.110)就出自中国力学院士的专著, 他给出了几乎与上面连接给出的同样的图来说明应力是不对称的。这就有点哭笑不得了。


  本文试图对应力张量的对称性做一个较直观的但有些深度的解释。 在此之前,先指出上图论证的问题- 我们不能对连续体的一点(它的体积→零,表 面积→为零)的某一面施加外力, 也就是说不能直接指定应力分量。外力边界条件,一般有称为第二边界条件([2],p50), 在这里你可以给出外力矢量(三个分量),而不是六个应力分量。因此上述论理是不成立的。

1  什么是应力?
   要理解应力当然先要理解什么是力。
  很多人认为牛顿第二定律给出了力的定义。但牛顿第二定律给出的力的计算式has no independent meaning([4])。 力的定义有一定的任意性, 它也许毫无道理,但并不奇怪(It may be gratuitous, but it is not bizarre[4])。Feynman先生认为上述定义是无用的([3]&12.1:The Newtonian statement above, however, seems to be a most precise definition of force, and one that appeals to the mathematician; nevertheless, it is completely useless), 似乎不存在力的精确定义([3]&12.1: If you insist upon a precise definition of force, you will never get it!)。既然两位诺贝尔奖获得者都这么说。 我们还是放弃在这里定义力, 假设它是一种基本物理量为好。 但是要注明的是, 在现代物理学中, 力不是基本物理量, 它一般被理解为能量的空间导数或动量的时间导数。 此时应力的定义也相应解释为能量密度的导数等(如[5])。 但本文不采用这种不直观的定义方法。
   记过连续体一点x的任意切面(法线方向n)的表面力矢量场为f(n,x)。Cauchy定理指出
$f(n,x)=\sigma(x)n$
这里的$\sigma(x)$即为Cauchy应力张量。


    几乎所有的连续体力学教程都会写下上述Cauchy定理的证明, 但严格的少见。建议阅读文献[6]p101-105,或[7]p26-27, [8]-[9]。Cauchy定理仍然有议论的余地, 如放松定理成立的光滑条件,考虑上述表面力矢量场是法线方向的空间导数的函数,将其导入微分几何学等([10]-[14])。

2 为什么Cauchy应力张量是对称的
   考虑一物体,其动量为$\int_\Omega \rho udv$, 所受体积力为$\int_\Omega b dv$ ,面力为$\int_{\partial\Omega} t ds$。则由牛顿第二定律
$\int_\Omega \rho \dot{u}dv=\int_\Omega b dv+\int_{\partial\Omega} t ds$                  (1)
其角动量平衡方程为
$\int_\Omega x\times\rho \dot{u}dv=\int_\Omega x\times b dv+\int_{\partial\Omega} x\times t ds$                     (2)
    由散度定理$\int_{\partial\Omega} t ds=\int_\Omega div\sigma dv$, 将其代入方程(1)得
$\int_\Omega (div\sigma+b-\rho \dot{v})dv=0$                  (3)
由于该式在连续体内任意一点都必须成立, 得到平衡方程
$div\sigma+b-\rho \dot{v}=0$                  (4)
   从方程(2)则可以得到应力张量的对称性。 方程(2)的最后一项$\int_{\partial\Omega} x\times t ds=\int_{\partial\Omega} x\times\sigma n ds=\int_\Omega(x \times div\sigma+\epsilon:\sigma^T)dv$     (5)
将此式代入(2)并使用方程(4),即可得到
$\epsilon:\sigma^T=0$             (6)
即Cauchy应力张量是对称。
  如上所述,Cauchy应力张量的对称性来源于角动量平衡条件,如果Cauchy定理成立,则Cauchy应力必然是对称的。

3  单独定义的应力没有什么实用意义(has no independent meaning)
   上节的平衡方程(4)和Cauchy应力张量的对称性条件实际上只是牛顿定律应用于连续体时的再述。上述方程并未给出关于连续体变形的任何信息。为此,我们需要导出于Cauchy应力张量
共轭的量,该张量与Cauchy应力张量的积表征连续体的变形能。或用现代物理学的语言来说,可以用来构筑变形体系统的Lagrangian或Hamilton。
  与上节相似,体积力所作的功为$\int_\Omega b.vdv$。表面力所作的功为$\int_{\partial\Omega} t.uds$。则外力的总功W为
$W=\int_\Omega b.udv+\int_{\partial\Omega} t.udv$       (7)
 其中, 表面力的功$\int_{\partial\Omega} t.udv=\int_{\partial\Omega} (\sigma n).udv=\int_\Omega div(\sigma^Tu)dv=\int_\Omega (div\sigma\cdot u+\sigma:gradu)dv$。因此
$W=\int_\Omega (\rho\dot{u}\cdot{u}+\sigma:gradu)dv+\int_{\Omega}(div\sigma+b-\rho \dot{u})\cdot uds=\int_\Omega (\rho\dot{u}\cdot{u}+\sigma:gradu)dv$    (8)
该式的倒数第二项为变形体的动能, 倒数第一项为变形能。记$\varepsilon=gradu$为应变速率,该应变速率张量为Cauchy应力的共轭量。

3.1 应力应变张量在不同构型(configuration)下的表达
    由于连续体的形状是变化的,如同物理量可以在不同的坐标系下表示一样,应力,应变也可以在不同构型下表达。 下面是一个例子
    考虑现在构型$\Omega$ 下的变形能,它由Cauchy应力,应变速率表达. 下面我们将其变换到构型$\Omega_0$. 两构型间的两点变换张量为F, Jocabian为J。
$W=\int_\Omega\sigma:\varepsilon dv=\int_\Omega\sigma:(\dot F F^{-1})dv=\int_\Omega\sigma F^{-T}:\dot Fdv=\int_{\Omega_0}J\sigma F^{-T}:\dot FdV$
   一般定义$P=J\sigma F^{-T}$为第一种Piola-Kirchhoff应力。它与$\dot F$共轭。 另外由于F不是对称的,所以第一种Piola-Kirchhoff应力不对称。

3.2 从能量表达式(7)推出平衡方程
    从现代物理学的观点来看, 整个连续体力学都可以建立于系统的能量表达式。我们可以从能量表达式(7)出发, 利用标架不变(frame-indifference)得出各守恒定理如式(2),(3)。可参见如[15],[16])。也许对基础坚实的古典连续体力学来说这样做的意义不大,但如要将古典连续体力学加以推广, 这是一个可靠的工具。


参考文献
1. 陈至达: 理性力学, 2000,重庆出版社
2  穆什海里什维利: 数学弹性力学的几个基本问题
3  费曼物理学讲义, http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
4  Frank Wilczek: Whence the force of F=ma? http://ctpweb.lns.mit.edu/physics_today/phystoday/%20Whence_cshock.pdf
5 Robert G. Brown, 2013: Symmetric stress tensor; http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node147.html
6. M.E.Gurtin: A introduction to Continuum mechanics, 1981, Academic press
7 J.T.Oden:A short course on nonlinear continuum mechanics, 2008 http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/oden0908.pdf
8  Miroslav Šilhavy:On Cauchy's stress theory, http://www.bdim.eu/item?fmt=pdf&id=RLIN_1990_9_1_3_259_0
9 R.L.Fosdick, E.G.Virga: A viariaional proof of stress theroem of Cauchy, Archives of Rational mechanica and analysis, 1998, p95-103
10 G. RODNAY AND R. SEGEV: Cauchy's flux theorem in light of geometric integration theory. http://www.bgu.ac.il/~rsegev/Papers/FluxGeomIntegration.pdf
11 Francesco dell’Isola et al; How contact interactions may depend on the shape of Cauchy cuts in N-th gradient continua: approach; http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/66/23/76/PDF/dellisola_seppecher_madeo.pdf
12 W. Noll: Thoughts on the concept of stress. http://repository.cmu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1015&context=math
13 E.Kanso等:On geometric character of stress in continuum mechanics http://upcommons.upc.edu/e-prints/bitstream/2117/8516/1/kanso_on-the-geometric_2007.pdf
14 C.A.Trusdell: Cauchy and the modern mechanics of continua
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1992_num_45_1_4229
15 P.Germain; The method of virtual power in continuum mechanics, Part II; SIAM J. Appl. Math, Vol. 25(1973), p556-575
16  G D Piero; On the method of virtual power in coninuum mechanics. J. Mech. Mater. Struct., VOl.4(2009), p281-292 http://msp.org/jomms/2009/4-2/jomms-v4-n2-p07-p.pdf
17   G D Piero; Virtual power, pseudovalance and the law of action and reaction; http://www.fyffm2010.cnrs-mrs.fr/PDFs/Del_Piero_Gianpietro.pdf

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