矢量沿曲线的平移

话说黄帝蚩尤大战于涿鹿, 其时浓雾弥漫, 不知东西. 黄帝造指南車辨识道路......
Fig.1 Parralel transport of a vector along a great circle of the sphere

现在考虑A部落的士兵在指南車的指引下向正南C, D部落的士兵在指南車的指引下也向正南C前进, 当他们在C点汇合时发现A,D指南車的指向是不同的!这一结果与我们在欧式空间的平行的概念大不相同.

  1. 曲面上的"平行移动"・协变导数
  上面的例子说明我们需要重新定义所谓平行这一概念. 不与欧式空间的平行的概念相冲突, 我们小心地定义所谓平行是矢量V沿曲线U的方向导数为零

  注意到上述导数其实尚未有明确的定义,我们把球面上的矢量V写成球坐标形式
,其在欧式空间中沿 轴的方向导数为

将基矢的偏导表述为基矢和球面法向n的线性函数

该式称为高斯方程. 这里为克氏符,为Weingarten方程. 注意到, K和$\Gamma$的两个下标是对称的.

   但对于黄帝部落而言,他们只知道球面上的东西,对球面外的法线一无所知! 在球面世界上来看, 上述方向导数为

在这里称为矢量V沿$\nu$轴的协变或绝对导数, 与欧式空间中方向导数相比较, 它去掉了球面法向的变化, 如下图
Fig.2 欧式空间的平行移动(V->V')和曲面空间的平行移动(V->V'')([1]p.102)

   矢量沿曲线的协变导数为零就是矢量沿曲线的平行移动条件.

   现在把矢量V沿方向U的协变导数写成.可以看出是一(1,1)张量, 称为协变导数.

   2. 克氏符・联络
   在欧式空间中克氏符的计算方法在高斯方程中给出.在曲面(黎曼)空间中,我们先要定义其度规, 然后设度规沿任一曲线的协变导数为零,由此推出克氏符的计算方法,称为与度规相适配的克氏符.

交换上式下标abc的顺序可的


由此可以得到

称为Levi-Civita联络. 克氏联络还有一个简单的表达式([3]p106-108)

由此


   3. 1形式的协变导数
   考虑一标量

可定义

为1形式的协变导数.由于上面方程的左边和倒数第二项都是张量, 该1形式的协变导数也是张量. 此时



主要参考文献
1. A. Zee, Einstein Gravity in a Nutshell, 2013, Princeton University
2. B.F.Schutz, Geometrical methods of mathematical physics, 1980, Cambridge Univeristy
3. S. Weinberg, Gravitation and cosmology: Principles and applications of the general theory of relativity, 1971, John Wiley & Sons

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