从混合偏导到 李微分到 黎曼张量

连续混合偏导数与其求导顺序无关, 即
(1)       $\partial_{,xy}f=\partial_{,yx}f$
其几何意义是函数f从A点出发到B=A+dx再到C=B+dy和从A点出发到D=A+dy再到C=D+dx, 其函数值的变化是相同的.

图1




上式也可用李括号写为
(2)   $[\frac{\partial}{\partial\lambda},\frac{\partial}{\partial\mu}]f=(\frac{\partial}{\partial\lambda}\frac{\partial}{\partial\mu}-\frac{\partial}{\partial\lambda}\frac{\partial}{\partial\mu})f=0$
或者干脆写成
(3)  $[\frac{\partial}{\partial\lambda},\frac{\partial}{\partial\mu}]=0$
由于该式在任意坐标系下成立, 我们在这里不再用x,y为下标.反过来说,如果两个向量V=$d_{,\lambda}$和U=$d_{,\mu}$线性无关且其李括号为零,则这两个变量$\lambda$和$\mu$可为坐标基底(证明过程可参见[1]p47~49).

图2

方程式(3)的几何意义可解释为A点的切矢(当AB为无限小时,AB为A点的切矢)沿$d_{,\lambda}$方向被拖带到D时,如与D点的切矢方向相同,则$d_{,\lambda}$和$d_{,\mu}$的李括号为零([1]p46).

  图3

图4



从拖带的观点出发,李括号也可解释为向量U沿向量V方向的李微分
(4)    $L_VU=[V,U]$
上述李微分不一定为零. 图3的红线标明的向量就是李微分的值, 表征着某种不均匀性. 如图4所示的表征晶体内位错分布的Burgers向量([2]).

  注意到上述李微分的定义并没有用到长度(度规张量)和向量的平行移动概念. 如果把上面的向量的李拖带解释为向量的平行移动,我们可以得到下面的结果.
    现在考虑在曲面上平行移动的导数

将其代入上式可得

定义

称为挠度张量.

上述方程(1),(2)表示了函数f沿不同路径时的变化差, 而黎曼曲张量$R^i_{,jkl}$则用来表征向量V=$f^i$沿不同环路时的变化的差.

图5([3]p74)

(5)     $\delta V^\rho=\delta a\delta bA^\nu B^\mu R^\rho_{,\sigma\mu\nu}V^\sigma$
其几何意义见下图.黎曼张量表征向量Vc'(r)和Vc(r)间的差.更加详细的议论可参见文献[4]或文献[1]的6.9节.如写成李括号形式,为
(6)    $[\nabla_\mu,\nabla_\nu]V^\rho=R^\rho_{,\sigma\mu\nu}V^\sigma-S_{\mu\nu},^\lambda\nabla_\lambda V^\rho$

主要参考文献:
1. B.F.Schutz, Geometrical methods of mathematical physics, 1980, Cambridge Univeristy
2.郭仲衡, 梁浩云, 变形体非协调理论的理性理论, 力学进展, 1989, 19(1), p36~48
3. S.M.Carroll. Lecture Notes on General Relativity ( http://arxiv.org/pdf/gr-qc/9712019.pdf)
4. http://academic.reed.edu/physics/courses/Physics411/html/411/page2/files/Lecture.13.pdf