http://forum.simwe.com/forum.php?mod=viewthread&tid=503234&highlight=%E5%89%AA%E5%BA%94%E5%8A%9B%E4%BA%92%E7%AD%89
奇妙的是， 有些专家也对此持疑。 如下图的例子([1] p.110)就出自中国力学院士的专著， 他给出了几乎与上面连接给出的同样的图来说明应力是不对称的。这就有点哭笑不得了。
本文试图对应力张量的对称性做一个较直观的但有些深度的解释。 在此之前，先指出上图论证的问题- 我们不能对连续体的一点（它的体积→零，表 面积→为零）的某一面施加外力， 也就是说不能直接指定应力分量。外力边界条件，一般有称为第二边界条件（[2]，p50）， 在这里你可以给出外力矢量（三个分量），而不是六个应力分量。因此上述论理是不成立的。
1 什么是应力？
要理解应力当然先要理解什么是力。
很多人认为牛顿第二定律给出了力的定义。但牛顿第二定律给出的力的计算式has no independent meaning（[4]）。 力的定义有一定的任意性， 它也许毫无道理，但并不奇怪（It may be gratuitous, but it is not bizarre[4]）。Feynman先生认为上述定义是无用的（[3]&12.1:The Newtonian statement above, however, seems to be a most precise definition of force, and one that appeals to the mathematician; nevertheless, it is completely useless）， 似乎不存在力的精确定义（[3]&12.1: If you insist upon a precise definition of force, you will never get it!)。既然两位诺贝尔奖获得者都这么说。 我们还是放弃在这里定义力， 假设它是一种基本物理量为好。 但是要注明的是， 在现代物理学中， 力不是基本物理量， 它一般被理解为能量的空间导数或动量的时间导数。 此时应力的定义也相应解释为能量密度的导数等(如[5])。 但本文不采用这种不直观的定义方法。
记过连续体一点x的任意切面（法线方向n）的表面力矢量场为f（n，x）。Cauchy定理指出
$f（n，x）=\sigma(x)n$
这里的$\sigma(x)$即为Cauchy应力张量。
几乎所有的连续体力学教程都会写下上述Cauchy定理的证明， 但严格的少见。建议阅读文献[6]p101-105，或[7]p26-27, [8]-[9]。Cauchy定理仍然有议论的余地， 如放松定理成立的光滑条件，考虑上述表面力矢量场是法线方向的空间导数的函数，将其导入微分几何学等（[10]-[14]）。
2 为什么Cauchy应力张量是对称的
考虑一物体，其动量为$\int_\Omega \rho udv$, 所受体积力为$\int_\Omega b dv$ ，面力为$\int_{\partial\Omega} t ds$。则由牛顿第二定律
$\int_\Omega \rho \dot{u}dv=\int_\Omega b dv+\int_{\partial\Omega} t ds$ (1)
其角动量平衡方程为
$\int_\Omega x\times\rho \dot{u}dv=\int_\Omega x\times b dv+\int_{\partial\Omega} x\times t ds$ (2)
由散度定理$\int_{\partial\Omega} t ds=\int_\Omega div\sigma dv$, 将其代入方程（1）得
$\int_\Omega (div\sigma+b-\rho \dot{v})dv=0$ (3)
由于该式在连续体内任意一点都必须成立， 得到平衡方程
$div\sigma+b-\rho \dot{v}=0$ (4)
从方程（2）则可以得到应力张量的对称性。 方程（2）的最后一项$\int_{\partial\Omega} x\times t ds=\int_{\partial\Omega} x\times\sigma n ds=\int_\Omega(x \times div\sigma+\epsilon:\sigma^T)dv$ (5)将此式代入（2）并使用方程（4），即可得到
$\epsilon:\sigma^T=0$ （6）
即Cauchy应力张量是对称。
如上所述，Cauchy应力张量的对称性来源于角动量平衡条件，如果Cauchy定理成立，则Cauchy应力必然是对称的。
3 单独定义的应力没有什么实用意义（has no independent meaning）
上节的平衡方程（4）和Cauchy应力张量的对称性条件实际上只是牛顿定律应用于连续体时的再述。上述方程并未给出关于连续体变形的任何信息。为此，我们需要导出于Cauchy应力张量
共轭的量，该张量与Cauchy应力张量的积表征连续体的变形能。或用现代物理学的语言来说，可以用来构筑变形体系统的Lagrangian或Hamilton。
与上节相似，体积力所作的功为$\int_\Omega b．vdv$。表面力所作的功为$\int_{\partial\Omega} t．uds$。则外力的总功W为
$W=\int_\Omega b．udv+\int_{\partial\Omega} t．udv$ (7)
其中， 表面力的功$\int_{\partial\Omega} t．udv=\int_{\partial\Omega} (\sigma n)．udv=\int_\Omega div(\sigma^Tu)dv=\int_\Omega (div\sigma\cdot u+\sigma:gradu)dv$。因此
$W=\int_\Omega (\rho\dot{u}\cdot{u}+\sigma:gradu)dv+\int_{\Omega}(div\sigma+b-\rho \dot{u})\cdot uds=\int_\Omega (\rho\dot{u}\cdot{u}+\sigma:gradu)dv$ (8)
该式的倒数第二项为变形体的动能， 倒数第一项为变形能。记$\varepsilon=gradu$为应变速率，该应变速率张量为Cauchy应力的共轭量。
3.1 应力应变张量在不同构型(configuration)下的表达
由于连续体的形状是变化的，如同物理量可以在不同的坐标系下表示一样，应力，应变也可以在不同构型下表达。 下面是一个例子
考虑现在构型$\Omega$ 下的变形能，它由Cauchy应力，应变速率表达. 下面我们将其变换到构型$\Omega_0$. 两构型间的两点变换张量为F, Jocabian为J。
$W=\int_\Omega\sigma:\varepsilon dv=\int_\Omega\sigma:（\dot F F^{-1})dv=\int_\Omega\sigma F^{-T}:\dot Fdv=\int_{\Omega_0}J\sigma F^{-T}:\dot FdV$
一般定义$P=J\sigma F^{-T}$为第一种Piola-Kirchhoff应力。它与$\dot F$共轭。 另外由于F不是对称的，所以第一种Piola-Kirchhoff应力不对称。
3.2 从能量表达式（7）推出平衡方程
从现代物理学的观点来看， 整个连续体力学都可以建立于系统的能量表达式。我们可以从能量表达式（7）出发， 利用标架不变(frame-indifference)得出各守恒定理如式（2），（3）。可参见如[15]，[16]）。也许对基础坚实的古典连续体力学来说这样做的意义不大，但如要将古典连续体力学加以推广， 这是一个可靠的工具。
参考文献
1. 陈至达: 理性力学, 2000，重庆出版社
2 穆什海里什维利: 数学弹性力学的几个基本问题
3 费曼物理学讲义， http://www.feynmanlectures.caltech.edu/
4 Frank Wilczek: Whence the force of F=ma? http://ctpweb.lns.mit.edu/physics_today/phystoday/%20Whence_cshock.pdf
5 Robert G. Brown, 2013: Symmetric stress tensor; http://www.phy.duke.edu/~rgb/Class/Electrodynamics/Electrodynamics/node147.html
6. M.E.Gurtin: A introduction to Continuum mechanics, 1981, Academic press
7 J.T.Oden:A short course on nonlinear continuum mechanics, 2008 http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/oden0908.pdf
8 Miroslav Šilhavy：On Cauchy's stress theory, http://www.bdim.eu/item?fmt=pdf&id=RLIN_1990_9_1_3_259_0
9 R.L.Fosdick, E.G.Virga: A viariaional proof of stress theroem of Cauchy, Archives of Rational mechanica and analysis, 1998, p95-103
10 G. RODNAY AND R. SEGEV: Cauchy's flux theorem in light of geometric integration theory. http://www.bgu.ac.il/~rsegev/Papers/FluxGeomIntegration.pdf
11 Francesco dell’Isola et al; How contact interactions may depend on the shape of Cauchy cuts in N-th gradient continua: approach; http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/66/23/76/PDF/dellisola_seppecher_madeo.pdf
12 W. Noll: Thoughts on the concept of stress. http://repository.cmu.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1015&context=math
13 E.Kanso等:On geometric character of stress in continuum mechanics http://upcommons.upc.edu/e-prints/bitstream/2117/8516/1/kanso_on-the-geometric_2007.pdf
14 C.A.Trusdell: Cauchy and the modern mechanics of continua
http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/rhs_0151-4105_1992_num_45_1_4229
15 P.Germain; The method of virtual power in continuum mechanics, Part II; SIAM J. Appl. Math, Vol. 25(1973), p556-575
16 G D Piero; On the method of virtual power in coninuum mechanics. J. Mech. Mater. Struct., VOl.4(2009), p281-292 http://msp.org/jomms/2009/4-2/jomms-v4-n2-p07-p.pdf
17 G D Piero; Virtual power, pseudovalance and the law of action and reaction； http://www.fyffm2010.cnrs-mrs.fr/PDFs/Del_Piero_Gianpietro.pdf
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