应力张量为什么是对称的? 为什么是不对称的?(其二)

4 什么应力张量是不对称的
   如前文所指出， Cauchy应力张量的对称性得至于角动量平衡方程(2). 如果方程(2)不成立， 如将其改写为
$\int_\Omega x\times\rho \dot{u}dv=\int_\Omega x\times b dv+\int_{\partial\Omega} x\times t ds + \int_\Omega m dv$                     (10)
则Cauchy应力张量就会变得不对称性。这里增加的一项m的物理意义为外部体力矩。这是一种假设，至于如何在尺寸为零的点上施加力矩这样的问题比较难于回答，在这里我们先放过了。
   上述在古典连续体力学导入新的变量的想法其实并不新鲜，它 最早出现在1909年（[17]）。Cosserat理论可以说是现在渐渐变得时髦的nonlocal continuum或 generalize continuum mechanics的鼻祖。在上世纪60年代对类似理论有详细的研究。这样构筑的力学体系于古典连续体力学大不相同，它们有自己的平衡方程，本构方程，Lagrangian或Hamilton. 在这些理论体系中，Cauchy应力有些是对称的（如couple stress theory, strain graident theory），有些是不对称得（如micropolar theory)。本文无意讨论这些问题，下述文献[18]-[20]叙述的理论中的Cauchy应力都是不对称的。



5 结言：模型与现实
   在本文中，我们提到了至少两类连续体模型：一类的Cauchy应力是对称的，另一类则是不对称的。我们在构筑模型时，第一要求模型体系是自洽的，即不是自相矛盾的。  经典连续体力学就是一个这样的严格的数学体系，在该体系下不能也不可能得到不对称的Cauchy应力。第二我们要求模型可以解释已知并且可以预测物理现象。进一步，如果模型的结果与现实不相符，该模型就需要修正或者放弃重构。由于经典连续体力学在某些方面的预测结果的精度不够，nonlocal continuum或 generalize continuum mechanics正是对经典连续体力学的修正。


6 题外的话：为什么应变张量是对称的？
  在（8）式中，我们看到应变能为Cauchy应力和应变速率$\varepsilon=gradu$的积。这里定义的应变速率不是对称的,它可以分解为对称部分和反对称部分的和。考虑到Cauchy应力的对称性, 应力张量与反对称张量的乘积为零，应变能实际上只和$gradu$的对称部分有关，即$\sigma:gradu=\sigma:sym(gradu)$。这样应变速率可以定义为$\varepsilon=sym(gradu)$. 这是常见的应变张量定义方法。









参考文献


17 Cosserat; E. & F., Théorie de Corps déformables, Paris, 1909
18 Eringen, A.C; Theory of micropolar elasticity, Defense Technical Information Center, 1967
19 Nowacki, W; The linear theory of micropolar elasticity, 1972
http://bcpw.bg.pw.edu.pl/Content/970/Micropolar_Elasticity_str1_43.pdf
20 Nowacki, W; Theory of Asymmetric Elasticity, Elsevier Science & Technology, 1986