梯度是向量还是1形式？

一直以为梯度是向量，可最近看Schutz的A first course in general relativity, 该书的3.3节下有一小节的标题是Gradient of a function is a one-form称梯度是1形式。

$df=\frac{\partial f}{\partial x} dx+\frac{\partial f}{\partial y} dy+\frac{\partial f}{\partial z} dz$

Schutz直接定义由成份$\partial f/\partial x，\partial f/\partial y， \partial f/\partial z$构成的量为梯度，这是1形式。


但是，一般情况下，梯度定义为

$\nabla f=g^{ik} \frac{\partial f}{\partial x^k} \frac{\partial}{ \partial x^i}$

其成分为$g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^k}$,这是向量.

参考文献
1. B. Schutz: A first course in general relativity, Cambridge Univ, 2009
2. http://en.wikipedia.org/wiki/Gradient